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五年级奥数解题指导(第54讲):牛吃草问题

小学新闻网 2019-09-13 14:40 小学数学 84次

 

  《奥赛天天练》第五十四讲《牛吃草问题》。
  【问题说明】:
  英国大科学家牛顿在他所著的《普通算术》一书中曾提出一个有趣的数学问题(格尔为牧场面积单位):
  有三片牧场,场上的草长得一样密,并且长的速度一样快,它们的面积分别是三又三分之一格尔、10格尔和24格尔。第一片牧场的草饲养12头牛可以吃4个星期,第二片牧场的草饲养21头牛可以吃9个星期,问在第三片牧场上放多少头牛可以吃18个星期?
  这个问题被人们称为牛顿问题,也就是我们平常说的牛吃草问题。牛吃草问题其实就是消长问题,问题的主要特征是:同一个数量一方面增加,另一方面减少,朝两个方向同时变化。如牛吃草问题中,草生长使草量匀速增加,牛吃草却使草量逐渐减少。
  【数量关系分析】:
  在牛吃草问题中,我们一般把一头牛一天的吃草量看作一个单位的草量,作为牧草的计量单位。
  在这个问题中,主要研究牧场原有草量、每日新增草量(即牧草生长速度)、牛的饲养数量、饲养时间,这四个数量之间的关系。
  一头牛一天吃一个单位的草量。
  如果养牛头数等于或小于每日新增草量,则无需动用牧场原有草量,这个牧场就会像个聚宝盆一样,供这些牛永远吃下去,草永远吃不完;
  如果养牛头数大于每日新增草量,我们可以理解为,每日新增的草先喂养了同等数量的牛,而多出的牛则需要吃牧场原有的草,牧场中原有的草可以供这些多出的牛吃多少天,这个牧场草就可以供这些牛吃多少天。(原有的草吃完了,新增草未生长,就理解为牧场的草吃完了。)
  此类问题中的基本数量关系有:
  牛的头数×对应的吃的天数=总草量;
  牛的头数-每日新增草量数=多出牛的头数;
  每日新增草量=(较长时间总草量-同一牧场较短时间总草量)÷相差天数;
  原有草量=对应总草量-每日新增草量×天数;
  吃的天数=原有草量÷多出牛的头数;
  牛的头数=原有草量÷天数+每日新增草量数。
  【解题方法介绍】:
  上面牛顿提出的牛吃草问题,比较复杂(三片面积不同的牧场),需要进行几次转化解题。本讲只学习较简单的牛吃草问题(同一片牧场),及数量关系、解题方法与之相似的消长问题。
  解题时,一般要先根据题中的条件(每日消耗数量等),先求出每日新增数量和原有数量,再根据上面的数量关系,求出对应的时间或个体数量。
  《奥赛天天练》第54讲,模仿训练,练习1
  【题目】:
  一片牧场长满牧场,每天草都在匀速生长,这块牧场上的草可供27头牛吃6天,也可供23头牛吃9天,那么这块牧场上的草可供21头牛吃多少天?
  【解析】:
  牧场原草量不变,9天总草量与6天总草量之差,就是多出3天长出的新草。先求出每人新增草量:
  (23×9-27×6)÷(9-6)=15(份);
  再用9天(或6天)总草量,减去9天新增草量,求出牧场原有草量:
  23×9-15×9=72(份);
  最后用原有草量除以多出牛的头数,求出21头牛吃的天数:
  72÷(21-15)=12(天)。
  《奥赛天天练》第54讲,模仿训练,练习2
  【题目】:
  一只船发现漏水时,已经进了一些水,现在水匀速地进入船内,如果10人舀水,3小时舀完;如果5人舀水,8小时舀完。现在要求2小时舀完,要安排多少人舀水?
  【解析】:
  把每人每小时舀水量看作一份。
  船内8小时总水量与3小时总水量之差,就是多出5小时进船的水。先求出船内每小时进水量:
  (5×8-10×3)÷(8-3)=2(份);
  再用3小时后船内总水量,减去3小时的进水量,求出发现漏水时船内已有进水量:
  10×3-2×3=24(份);
  最后用2小时后船内总水量除以时间2小时,求出安排舀水的人数:
  (24+2×2)÷2=14(人)。
  《奥赛天天练》第54讲,巩固训练,习题1
  【题目】:
  假设地球上每年新生成的资源的量是一定的。据测算地球上的全部资源可供110亿人口生活90年而耗尽,或者可供90亿人生活210年而耗尽。世界总人口必须控制在多少以内,才能保证地球上的资源足以使人类不断繁衍下去?
  【解析】:
  把一亿人一年消耗的资源看作一份,先求出地球上每年新生成资源的数量:
  (210×90-90×110)÷(210-90)=75(份);
  当世界总人口数控制在地球资源生成速度范围以内,即世界总人口必须控制在75亿以内,才能保证地球上的资源足以使人类不断繁衍下去。
  《奥赛天天练》第54讲,巩固训练,习题2
  【题目】:
  一片牧草,每天生长速度相同,现在这片牧草可供16头牛吃20天,或者供80只羊吃12天,如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么这批牧草可供10头牛与60只羊一起吃多少天?
  【解析】:
  先把羊替换成牛(也可以把牛替换成羊,但数据较大),转化成简单的牛吃草问题:
  80只羊相当于20头牛:80÷4=20(头);
  10头牛和60只羊相当于25头牛:10+60÷4=25(头)。
  先求出每日新增草量:
  (16×20-20×12)÷(20-12)=10(份);
  再求出原有草量:
  16×20-10×20=120(份);
  最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数:
  120÷(25-10)=8(天)。
  《奥赛天天练》第54讲,拓展提高,习题1
  【题目】:
  画展馆9时开门,但是早有人前来排队等候入场,从第一个观众到起,每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口,9时9分就不再有人排队;如果开5个入场口,9时5分就没有人排队,问第一个观众到达的时间是几时几分?
  【解析】:
  把每分钟每个入场口的人流量看作一份。
  3个入场口9分钟入场总人数与5个入场口5分钟入场总人数的差,就是多出4分钟新增加的人数。先求出展馆门口每分钟新增人数:
  (9×3-5×5)÷(9-5)=0.5(份);
  再求出开门时,已有人数:
  9×3-9×0.5=22.5(份);
  最后求出展馆门口累计22.5份人数的时间:
  22.5÷0.5=45(分钟)。
  9时-45分钟=8时15分
  所以第一个观众到达的时间是8时15分。
  《奥赛天天练》第54讲,拓展提高,习题2
  【题目】:
  某水库有10个泄洪闸,若水库的水位已经超过安全线,且上游河水还在按不变的速度增加。为了防洪,需要调节泄洪速度。假设每个闸门泄洪速度相同,经测算,若打开一个泄洪闸30小时,水位降至安全线;若打开两个泄洪闸,10个小时水位降至安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5小时使水位降至安全线以下,至少要同时打开多少个闸门?
  【解析】:
  把一个闸门一个小时的泄洪量看作一份。
  30小时的总泄洪量与10小时总泄洪量之差,就是相差20小时内增加的水量。先求出河水每小时增加的速度:
  (30×1-10×2)÷(30-10)=0.5(份);
  再用10小时总泄洪量,减去10小时新增水量,求出泄洪前已经超出水位安全线的水量:
  10×2-10×0.5=15(份);
  最后用5.5小时需要泄洪总水量除以时间5.5小数,求出需要打开闸门的个数:
  (15+5.5×0.5)÷5.5≈3.2(个)
  所以,要在5.5小时使水位降至安全线以下,至少要同时打开4个闸门。

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